Question

13．已知数列{a_n}是等差数列，a_n+1＞a_n，a₁•a₁₀=160，a₃+a₈=37．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若从数列{a_n}中依次取出第2项，第4项，第8项，第2ⁿ项，按原来的顺序组成一个新数列{b_n}，求S_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由a_n+1＞a_n，a₁•a₁₀=160，a₃+a₈=37．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=${a}_{{2}^{n}}$=3×2ⁿ+2．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a_n+1＞a_n，a₁•a₁₀=160，a₃+a₈=37．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（{a}_{1}+9d）=160}\\{2{a}_{1}+9d=37}\end{array}\right.$，化为${a}_{1}^{2}$-37a₁+160=0，
解得a₁=32，或5．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{d=-3}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=5}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=5+3（n-1）=3n+2．
（2）b_n=${a}_{{2}^{n}}$=3×2ⁿ+2．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=3（2¹+2²+…+2ⁿ）+2n
=$3×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+2n
=3×2ⁿ⁺¹-6+2n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．