Question

3．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}=2{n^2}-n$，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列的求和公式，通过当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，验证n=1时，数列的通项公式是否满足所求结果，即可求解数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出b_n，当n为偶数时，当n为奇数时，分别求出数列的和即可．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由${S_n}=2{n^2}-n$，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2{n^2}-n-[{2{{（{n-1}）}^2}-（{n-1}）}]=4n-3$．
当n=1时，a₁=S₁=1，而4×1-3=1，
所以数列{a_n}的通项公式a_n=4n-3，n∈N^*．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${b_n}={（-1）^n}{a_n}={（-1）^n}（{4n-3}）$，
当n为偶数时，${T_n}=-1+5-9+13-17+…+（{4n-3}）=4×\frac{n}{2}=2n$，
当n为奇数时，n+1为偶数，T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1．
综上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}2n，n为偶数\\-2n+1，n为奇数.\end{array}\right.$      …（13分）

点评 本题考查数列的通项公式的应用，分类讨论思想的应用，数列求和，考查分析问题解决问题的能力．