Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，1），$\overrightarrow{b}$=（-2，3）．
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|与|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）求当k为何值时，向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$垂直？
（3）求当k为何值时，向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行？并确定两向量平行时，它们是同向还是反向？

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，代入模长公式计算；
（2）求出$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$的坐标，令（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$）=0列方程解出；
（3）令10（2k-2）+4（k+3）=0解出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（0，4），$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（4，-2）．
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$．
（2）$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2k-2，k+3），$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$=（-4，10）．
当向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$垂直时，（$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$）=0，
即-4（2k-2）+10（k+3）=0，解得k=-19．
（3）当向量k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$平行时，10（2k-2）+4（k+3）=0，
解得k=$\frac{1}{3}$．
此时$k\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（-$\frac{4}{3}$，$\frac{10}{3}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$）．
∴k$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$方向相同．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．