Question

1．已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆C上的一点P到椭圆C的两个焦点的距离之和为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），运用椭圆的定义和离心率公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦为AB，A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，可得直线AB的斜率，再由点斜式方程可得所求直线的方程．

解答 解：（1）设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2a=8，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=4，
可得椭圆C的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）设以椭圆C内的点M（1，1）为中点的弦为AB，
A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁²+4y₁²=16，①x₂²+4y₂²=16，②
x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，③
①②作差，代入③，可得2（x₁-x₂）+4×2（y₁-y₂）=0，
可得${k_{AB}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{1}{4}$，
即有直线AB的方程为y-1=-$\frac{1}{4}$（x-1），
即x+4y-5=0．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和定义，考查中点弦方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式以及斜率公式，考查化简整理的能力，属于中档题．