Question

16．设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率e；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x+2）²+（y-1）²=$\frac{15}{2}$的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （I）运用分点坐标公式可得M的坐标，再由直线的斜率公式和离心率公式，计算即可得到；
（II）解法一、设出PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合圆的直径，计算即可得到所求方程；
解法二、设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差，结合直线的斜率公式，可得PQ的斜率，求得PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式计算即可得到所求椭圆方程．

解答 解：（I）∵A（a，0）B（0，b）点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|
∴M$（\frac{2a}{3}\;，\frac{b}{3}）$，${k_{OM}}=\frac{b}{2a}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{c}{a}=\sqrt{1-{{（\frac{b}{a}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
∴椭圆E的离心率e为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；
（II）解法一：由（I）知，椭圆E的方程为x²+4y²=4b²．（1），
依题意，圆心C（-2，1）是线段PQ的中点，且$|{PQ}|=\sqrt{30}$．
易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为y=k（x+2）+1，
代入（1）得（1+4k²）x²+8k（2k+1）x+4（2k+1）²-4b²=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{{（2k+1）}^2}-4{b^2}}}{{1+4{k^2}}}$，
由x₁+x₂=-4，得$-\frac{8k（2k+1）}{{1+4{k^2}}}=-4$，解得$k=\frac{1}{2}$．
从而${x_1}{x_2}=8-2{b^2}$．
于是$|{PQ}|=\sqrt{1+{{（\frac{1}{2}）}^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}$，
由$|{PQ}|=\sqrt{30}$，得$\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}=\sqrt{30}$，2b²-4=6，解得b²=5．
故椭圆 E的方程为$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$．
解法二：由（I）知，椭圆 E的方程为x²+4y²=4b²．（1），
依题意点P、Q关于圆C（-2，1）对称且$|{PQ}|=\sqrt{30}$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则$\left\{\begin{array}{l}x_1^2+4y_1^2=4{b^2}\\ x_2^2+4y_2^2=4{b^2}\end{array}\right.$，
两式相减得-4（x₁-x₂）+8（y₁-y₂）=0，
易知PQ不与x轴垂直，则x₁≠x₂，$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{1}{2}$，
∴PQ的斜率为$\frac{1}{2}$，
设其直线方程为$y=\frac{1}{2}（x+2）+1=\frac{1}{2}x+2$，
代入（1）得x²+4x+8-2b²=0∴x₁+x₂=-4${x_1}{x_2}=8-2{b^2}$．
于是$|{PQ}|=\sqrt{1+{{（\frac{1}{2}）}^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}$，
由$|{PQ}|=\sqrt{30}$，得$\sqrt{5}\sqrt{2{b^2}-4}=\sqrt{30}$，2b²-4=6解得b²=5．   
故椭圆 E的方程为$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和离心率公式，考查椭圆方程的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，或者运用点差法，属于中档题．