Question

11．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点$（0，\frac{1}{2}）$．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），讨论直线AB的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
∵点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，
∴$\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1$，解得a=2，b=1．
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵AB的垂直平分线过点$（0，\frac{1}{2}）$，∴AB的斜率k存在．
当直线AB的斜率k=0时，x₁=-x₂，y₁=y₂，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$•2|x₁|•|y₁|=|x₁|•$\sqrt{1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}$
=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}（4-{{x}_{1}}^{2}）}$≤$\frac{1}{2}$•$\frac{{{x}_{1}}^{2}+4-{{x}_{1}}^{2}}{2}$=1，
当且仅当x₁²=4-x₁²，取得等号，
∴${x_1}=±\sqrt{2}$时，（S_△AOB）_max=1；
当直线AB的斜率k≠0时，设l：y=kx+m（m≠0）．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
由△＞0可得4k²+1＞m²①，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，可得$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{4km}{{1+4{k^2}}}$，
$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=k\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}+m=\frac{m}{{1+4{k^2}}}$，
∴AB的中点为$（\frac{-4km}{{1+4{k^2}}}，\frac{m}{{1+4{k^2}}}）$，
由直线的垂直关系有$k•\frac{{\frac{m}{{1+4{k^2}}}-\frac{1}{2}}}{{\frac{-4km}{{1+4{k^2}}}}}=-1$，化简得1+4k²=-6m②
由①②得-6m＞m²，解得-6＜m＜0，
又O（0，0）到直线y=kx+m的距离为$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
$|AB|=\sqrt{1+{k^2}}|{x_1}-{x_2}|=\sqrt{1+{k^2}}•4•\sqrt{\frac{{1+4{k^2}-{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}$，
${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|AB|d=\frac{1}{2}\sqrt{1+{k^2}}•4•\sqrt{\frac{{1+4{k^2}-{m^2}}}{{{{（1+4{k^2}）}^2}}}}•\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
=$2\sqrt{\frac{{-6m-{m^2}}}{{36{m^2}}}}|m|=\frac{1}{3}\sqrt{-{{（m+3）}^2}+9}$，
∵-6＜m＜0，∴m=-3时，${（{S_{△AOB}}）_{max}}=\frac{1}{3}×3=1$．
由m=-3，∴1+4k²=18，解得$k=±\frac{{\sqrt{17}}}{2}$；
即$k=±\frac{{\sqrt{17}}}{2}$时，（S_△AOB）_max=1；        
综上：（S_△AOB）_max=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．