Question

19．两组学校的社会实践活动各有7位人员（下文分别简称为“甲小组”和“乙小组”）．两小组成员分别独立完成一项社会调查，并形成调查报告，每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）如表所示：

组别	每位成员从启动调查到完成报告所用的时间（单位：天）
甲小组	10	11	12	13	14	15	16
乙小组	12	13	15	16	17	14	a

假设所有成员所用时间相互了独立，从甲、乙两小组随机各选1人，甲小组选出的人记为A，乙小组选出的人记为B．
（Ⅰ）求A所用时间不小于13天的概率；
（Ⅱ）如果a=18，求A所用的时间比B所用时间长的概率．

Answer 1

分析 设事件A_i为“甲是A组的第i个人”，事件B_i为“乙是B组的第i个人”，由题意可知P（A_i）=P（B_i）=，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“A所用的时间比B所用时间长”C=A₄B₁∪A₅B₁∪A₆B₁∪A₇B₁∪A₅B₂∪A₆B₂∪A₇B₂∪A₇B₃∪A₆B₆∪A₇B₆，易得P（C）=10P（A₄B₁），易得答案；

解答 解：设事件A_i为“甲是A组的第i个人”，事件B_i为“乙是B组的第i个人”，
由题意可知P（A_i）=P（B_i）=$\frac{1}{7}$，i=1，2，••，7
（Ⅰ）事件“A所用时间不小于13天”等价于“甲是A组的第4或第5或第6或第7个人”
∴A所用时间不小于13天的概率P（A₄∪A₅∪A₆∪A₇）=P（A₄）+P（A₅）+P（A₆）+P（A₇）=$\frac{4}{7}$；
（Ⅱ）设事件C为“A所用的时间比B所用时间长”，
则C=A₄B₁∪A₅B₁∪A₆B₁∪A₇B₁∪A₅B₂∪A₆B₂∪A₇B₂∪A₇B₃∪A₆B₆∪A₇B₆，
∴P（C）=P（A₄B₁）+P（A₅B₁）+P（A₆B₁）P+（A₇B₁）+P（A₅B₂）+P（A₆B₂）+P（A₇B₂）+P（A₇B₃）+P（A₆B₆）+P（A₇B₆）
=10P（A₄B₁）=10P（A₄）P（B₁）=$\frac{10}{49}$

点评 本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式，属于中档题．