Question

6．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积，椭圆几何量的关系，求出a，b，c得到椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），推出AB：y=kx+m．代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$利用韦达定理，以及B，C，F₂共线，得到${k_{B{F_2}}}={k_{C{F_2}}}$，推出m=-4k．说明AB与x轴交于定点P（4，0），然后求解$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由题意知$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}（2c）b=\sqrt{3}$，a²=c²+c²，解得c=1，a=2，$b=\sqrt{3}$．椭圆的标准方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），AB：y=kx+m．将y=kx+m，代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
则${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{4{k^2}+3}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}$．
因为B，C，F₂共线，所以${k_{B{F_2}}}={k_{C{F_2}}}$，即$\frac{{-（k{x_1}+m）}}{{{x_1}-1}}=\frac{{k{x_2}+m}}{{{x_2}-1}}$．
整理得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
所以$2k\frac{{4{m^2}-12}}{{4{k^2}+3}}-（m-k）\frac{8km}{{4{k^2}+3}}-2m=0$，m=-4k．AB：y=k（x-4），与x轴交于定点P（4，0）．…（12分）
因为${y_1}^2=3-\frac{3}{4}{x_1}^2$，
所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}=（{{x_1}-4，{y_1}}）•（{{x_1}-1，-{y_1}}）=x_1^2-5{x_1}+4-y_1^2$=$\frac{7}{4}x_1^2-5{x_1}+1=\frac{7}{4}{（{{x_1}-\frac{10}{7}}）^2}-\frac{18}{7}$．
因为-2＜x₁＜2，所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{{F_2}C}$的取值范围是$[-\frac{18}{7}，18）$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查向量在解析几何中的应用，难度比较大．