Question

16．已知△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且$a=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{2}$，$A=\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）求B，C及△ABC的面积；
（Ⅱ）已知函数f（x）=sinBsin2πx+cosCcos2πx，把函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{1}{4}$个单位，然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，2]上的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可求sinC=$\frac{1}{2}$，结合C，B为锐角，可得C，B，b的值，利用三角形面积公式即可计算得解．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f（x）=sin（2πx+$\frac{π}{3}$），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的单调性求得函数的增区间，再结合x∈[0，2]，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵$a=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{2}$，$A=\frac{2π}{3}$，
∴由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∵C，B为锐角，可得：C=$\frac{π}{6}$，B=π-A-C=$\frac{π}{6}$，b=c=$\sqrt{2}$
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（Ⅱ）∵B=$C=\frac{π}{6}$，
∴f（x）=sinBsin2πx+cosCcos2πx=$\frac{1}{2}$sin2πx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2πx=sin（2πx+$\frac{π}{3}$），
∴把函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{1}{4}$个单位，可得函数解析式：y=sin[2π（x-$\frac{1}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2πx-$\frac{π}{6}$），
然后把所得函数图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，即得函数y=g（x）=sin（πx-$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤πx-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得2k$-\frac{1}{3}$≤x≤2k+$\frac{2}{3}$，k∈Z
∵x∈[0，2]，
∴可得函数的增区间为[0，$\frac{2}{3}$]∪[$\frac{5}{3}$，2]．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．