Question

1．函数f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的值域；
（2）若f（x₀）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，且x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

分析 （1）变形可得f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由又由三角形的知识和周期公式可得ω=$\frac{π}{4}$，由振幅的意义可得值域；
（2）由已知和（1）的解析式可得sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，进而由角的范围和同角三角函数基本关系可得cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）]计算可得．

解答 解：（1）由已知得f（x）=6cos²$\frac{ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωx-3
=3cosωx+$\sqrt{3}$sinωx=2$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
又△ABC为正三角形，且高为2$\sqrt{3}$，可得BC=4．
∴函数f（x）的最小正周期为8，即$\frac{2π}{ω}$=8，
解得ω=$\frac{π}{4}$，∴f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{3}$），
∴函数f（x）的值域为：[-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]；
（2）∵f（x₀）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
∴2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
故sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵x₀∈（-$\frac{10}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（\frac{π}{4}{x}_{0}+\frac{π}{3}）}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
∴f（x₀+1）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{π}{4}$x₀+$\frac{π}{3}$）]=$\frac{3\sqrt{30}}{5}$

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和和差角的三角函数以及整体思想，属中档题．