Question

11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a²+c²=ac+b²，b=$\sqrt{3}$，且a≥c，则2a-c的最小值是$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 使用余弦定理求出B，由正弦定理用A，C表示出a，c根据A的范围和正弦函数的性质得出2a-c的范围．

解答 解：在△ABC中，∵a²+c²=ac+b²，∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．∴A+C=$\frac{2π}{3}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$=2．
∴a=2sinA，c=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}-A$）=$\sqrt{3}$cosA+sinA，
∴2a-c=3sinA-$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）．
∵a≥c，∴$\frac{π}{3}$≤A＜$\frac{2π}{3}$．
∴当A=$\frac{π}{3}$时，2a-c取得最小值2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．