Question

19．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小值为-2，且对于任意x∈R，恒有f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0，又f（0）=1，则函数f（x）在区间[0，π]上的增区间为（　　）

• A． [0，$\frac{π}{6}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]
• C． [0，$\frac{π}{6}$]∪[$\frac{2π}{3}$，π]
• D． [0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]

Answer 1

分析 根据函数f（x）的最小值得出A的值，再由f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0求出ω的值，由f（0）的值求出φ的值，写出f（x）的解析式，再求出f（x）在区间[0，π]上的增区间即可．

解答 解：根据函数f（x）的最小值为-2，得A=2；
又f（x+$\frac{π}{2}$）+f（x）=0，
∴2sin（ωx+$\frac{π}{2}$ω+φ）+2sin（ωx+φ）=0，
∴ω=2；
又f（0）=1，
∴2sinφ=1，
解得sinφ=$\frac{1}{2}$；
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$；
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）在区间[0，π]上的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
故选：D．

点评 本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．