Question

2．已知在数列{a_n}中，a_n=1+a+a²+…+a^n-1，求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 先通过对，a=0时讨论，当a≠0时，a=1与a≠1的讨论分别利用公式法求解数列的通项，进而即可求出数列的和．

解答 解：当a=0，a_n=1，则前n项和Sn=n，
当a≠0，当a=1时，数列的通项公式${a}_{n}=1+a+{a}^{2}+{a}^{3}+$…+a^n-1=n
∴Sn=a₁+a₂+…+a_n=1+2+…+n=$\frac{1}{2}n（n+1）$；
当a≠1时，有a_n=1+a+a²+…+a^n-1=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}=\frac{1}{1-a}+\frac{1}{a-1}{a}^{n}$
S_n=a₁+a₂+…+a_n
=$（\frac{1}{1-a}+\frac{a}{a-1}）$+$（\frac{1}{1-a}+\frac{{a}^{2}}{a-1}）$…$（\frac{1}{1-a}+\frac{{a}^{n}}{a-1}）$
=$\frac{n}{1-a}+\frac{1}{a-1}\frac{a（1-{a}^{n}）}{1-a}$
$\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$．
a=0时Sn=n
当a=1时，数列的前n项和Sn=$\frac{1}{2}n（n+1）$
a≠1时，${S}_{n}=\frac{{a}^{n+1}-a}{（1-a）^{2}}+\frac{n}{1-a}$

点评 本题考查等差数列以及等比数列的前n项和公式，分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中档题．