Question

17．以双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）的右焦点F₂为圆心，2为半径的圆与双曲线的渐近线相交，则双曲线的离心率的范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{3}$）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 求得双曲线的a，c，和渐近线方程，运用直线和圆相交的条件：d＜r，解得0＜b＜2，由离心率公式可得所求范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（b＞0）的a=2，c=$\sqrt{4+{b}^{2}}$，
渐近线方程为y=±$\frac{b}{2}$x，
由右焦点F₂为圆心，2为半径的圆与双曲线的渐近线相交，
可得$\frac{|b\sqrt{4+{b}^{2}}|}{\sqrt{4+{b}^{2}}}$＜2，可得b＜2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4+{b}^{2}}}{2}$＜$\frac{2\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
又e＞1，可得离心率的范围是（1，$\sqrt{2}$）．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用渐近线方程以及直线和圆相交的条件：d＜r，考查化简运算能力，属于中档题．