Question

5．如图，双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左焦点、左顶点分别为F，C，过原点O的直线与两分支分别交于A，B（异于C点），若直线AF交BC于D点，且$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 设A（m，n），B（-m，-n），由题意可得F（-c，0），C（-a，0），运用向量共线的坐标表示和三点共线的条件：斜率相等，计算结合离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设A（m，n），B（-m，-n），
由题意可得F（-c，0），C（-a，0），
由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DF}$，可得
x_D=$\frac{m-2c}{1+2}$=$\frac{m-2c}{3}$，y_D=$\frac{n}{1+2}$=$\frac{n}{3}$，
即有D（$\frac{m-2c}{3}$，$\frac{n}{3}$），
由B，C，D共线，可得
k_BC=k_CD，即为$\frac{n}{m-a}$=$\frac{n}{m-2c+3a}$，
即有m-a=m-2c+3a，
即为c=2a，e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查向量共线的坐标表示，以及三点共线的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．