Question

6．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2n²+5n+1（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和B_n满足B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}与{b_n}的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{c_n}，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）可求得a₁=8，a_n=S_n-S_n-1=4n+3；从而以分段形式写出通项公式即可；
（2）讨论可求得数列{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而可得b_n=3ⁿ，检验可得数列{a_n}与{b_n}的第一个公共项为27，第二个公共项为243；从而猜想c_n=3²ⁿ⁺¹，从而再证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2+5+1=8，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+5n+1）-（2（n-1）²+5（n-1）+1）
=4n+3；
综上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{8，n=1}\\{4n+3，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）当n=1时，b₁=B₁=$\frac{3}{2}$b₁-$\frac{3}{2}$，解得，b₁=3；
当n≥2时，B_n=$\frac{3}{2}$b_n-$\frac{3}{2}$，B_n-1=$\frac{3}{2}$b_n-1-$\frac{3}{2}$；
两式作差可得，
b_n=3b_n-1，
故数列{b_n}是以3为首项，3为公比的等比数列，
故b_n=3ⁿ，
检验可得，数列{a_n}与{b_n}的第一个公共项为27，第二个公共项为243；
而若n=2m+1，m≥1，
则b_2m+1-3=3^2m+1-3=3（3^2m-1）=3（3^m+1）（3^m-1），
∵3^m+1是偶数，3^m-1是偶数；
∴存在n，使b_2m+1-3=4n，
故b_2m+1=4n+3；
故{c_n}是以27为首项，9为公比的等比数列，
故c_n=27•9^n-1=3²ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数列的性质的判断与应用，属于中档题．