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    1．设D，E分别为线段AB，AC的中点，且$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，记α为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角，则下述判断正确的是（　　）
    A．cosα的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$B．cosα的最小值为$\frac{1}{3}$
    C．sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值为$\frac{8}{25}$D．sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值为$\frac{7}{25}$

    分析 由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得 $\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=0，两个向量的数量积的定义化简求得2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，求得cosα≥$\frac{4}{5}$，检验各个选项，得出结论．

    解答 解：∵D，E分别为线段AB，AC的中点，∴BD CD分别为△ABC的中线．
    ∵$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=0，记α为$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角，
    ∴$\overrightarrow{BE}$•$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$）•$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{1}{4}$（-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）•（-$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）
    =$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AC}$-2$\overrightarrow{AB}$）•（$\overrightarrow{AB}$-2$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-2${\overrightarrow{AC}}^{2}$-2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+4$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$ ）=0，
    ∴2${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2${\overrightarrow{AC}}^{2}$=5$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$，即 2AB2+2AC2=5AB•AC•cosA≥4AB•AC，
    ∴cosA≥$\frac{4}{5}$，即cosα≥$\frac{4}{5}$，故排除A、B；
    ∵sin（2α+$\frac{π}{2}$）=cos2α=2cos2α-1≥$\frac{7}{25}$，故排除C；
    ∵sin（$\frac{π}{2}$-2α）=cos2α=2cos2α-1≥$\frac{7}{25}$，故D满足条件，
    故选：D．

    点评 本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．

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