Question

16．设椭圆C：y²+$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F₁，F₂，若在椭圆C上存在点P使得PF₁⊥PF₂，则m的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）
• B． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 求得椭圆的a，b，c，在椭圆C上存在点P使得PF₁⊥PF₂，等价为以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，即有c≥b，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：椭圆C：y²+$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$=1（0＜m＜1）的a=1，b=m，c=$\sqrt{1-{m}^{2}}$，
在椭圆C上存在点P使得PF₁⊥PF₂，等价为以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，
即有c≥b，即$\sqrt{1-{m}^{2}}$≥m，
即为2m²≤1，解得0＜m≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查圆与椭圆的位置关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．