Question

3．二项式（$\frac{x}{\sqrt{2}}$-y）⁸的展开式中，x⁴y⁴与x²y⁶项的系数之和是$\frac{63}{2}$（用数字作答）

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式，求出x⁴y⁴与x²y⁶项的系数，再求和即可．

解答 解：（$\frac{x}{\sqrt{2}}$-y）⁸的展开式中，通项公式为
T_r+1=${C}_{8}^{r}$•${（\frac{x}{\sqrt{2}}）}^{8-r}$•（-y）^r=$\frac{{（-1）}^{r}}{{（\sqrt{2}）}^{8-r}}$•x^8-r•y^r，
当r=4时，可得x⁴y⁴的系数为$\frac{{（-1）}^{4}}{{（\sqrt{2}）}^{8-4}}$•${C}_{8}^{4}$=$\frac{35}{2}$；
当r=6时，可得x²y⁶的系数为$\frac{{（-1）}^{6}}{{（\sqrt{2}）}^{8-6}}$•${C}_{8}^{6}$=14；
所以展开式中x⁴y⁴与x²y⁶项的系数之和是$\frac{35}{2}$+14=$\frac{63}{2}$．
故答案为：$\frac{63}{2}$

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，是基础题目．