Question

18．已知函数f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+2m．
（1）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）+1-a＞0（a∈R）的解集；
（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对参数a进行分类讨论，分别解不等式即可；
（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x-3|+|x+4|＞2m恒成立，利用不等式的性质求出|x-3|+|x+4|的最小值，就可以求出m的范围．

解答 解：（1）当a＞0时，由f（x）+1-a＞0得|x-3|+1-a＞0，
即|x-3|＞a-1，
若a-1＜0，即0＜a＜1时，不等式的解集是R，
若a-1≥0，即a≥1时，由|x-3|＞a-1得x-3＞a-1或x-3＜-（a-1），
即x＞a+2或x＜4-a．
所以，当0＜a＜1时，不等式的解集为R；
当a≥1时，不等式的解集为（-∞，4-a）∪（a+2，+∞）．
（2））∵f（x）=|x-3|，g（x）=-|x+4|+2m，函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，
∴f（x）≥g（x）恒成立，
即|x-3|≥-|x+4|+2m恒成立，
即|x-3|+|x+4|≥2m恒成立，
∵|x-3|+|x+4|≥|-4-3|=7，
则2m≤7，则m≤$\frac{7}{2}$．
∴m的取值范围为：m≤$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．