Question

19．在三角形ABC中，$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}，\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}，∠A=\frac{π}{3}$，则$|\overrightarrow{AD}|$的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 可根据条件得到$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=1$，而由$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}$可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，两边平方并进行数量积的运算便可得到$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}=\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{2}{9}$，这样根据不等式a²+b²≥2ab即可得出$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}$的范围，从而得出$|\overrightarrow{AD}|$的范围，即得出$|\overrightarrow{AD}|$的最小值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$=$\frac{1}{2}$；
∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=1$；
由$\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}$得，$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=3（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$|\overrightarrow{AD}{|}^{2}=\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$
=$\frac{1}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{2}{9}$
=$（\frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}|）^{2}+（\frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|）^{2}+\frac{2}{9}$$≥\frac{4}{9}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|+\frac{2}{9}=\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{2}{3}$，当且仅当$\frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AB}|$即$|\overrightarrow{AC}|=2|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}$时取“=”；
∴$|\overrightarrow{AD}|≥\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴$|\overrightarrow{AD}|$的最小值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及不等式a²+b²≥2ab的运用，不等式的性质．