Question

7．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第七《盈不足》有一道关于等比数列求和试题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”其意思是：今有蒲生1日，长3尺．莞生1日，长1尺．蒲的生长逐日减其一半，莞的生长逐日增加1倍，问几日蒲（水生植物名）、莞（植物名）长度相等．试估计3日蒲、莞长度相等（结果采取“只入不舍”原则取整数，相关数据：lg3≈0.4771，lg2≈0.3010）

Answer 1

分析 设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，其前n项和为B_n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．

解答 解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a_n}，其a₁=3，公比为$\frac{1}{2}$，其前n项和为A_n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b_n}，其b₁=1，公比为2，其前n项和为B_n．
则A_n=$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$，B_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
令$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$，
化为：2ⁿ+$\frac{6}{{2}^{n}}$=7，
解得2ⁿ=6，2ⁿ=1（舍去）．
∴n=$\frac{lg6}{lg2}$=1+$\frac{lg3}{lg2}$≈2.6．
取n=3．
∴估计3日蒲、莞长度相等，
故答案为：3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．