Question

12．已知x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值为m，若正数a，b满足a+b=m，则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值m，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）
由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A（3，0）时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．
代入目标函数z=2x+y得z=2×3=6．
即m=6．
则a+b=6，即$\frac{a}{6}$+$\frac{b}{6}$=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$）（$\frac{a}{6}$+$\frac{b}{6}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{4}{6}$+$\frac{4a}{6b}$+$\frac{b}{6a}$≥$\frac{5}{6}$+2$\sqrt{\frac{4a}{6b}•\frac{b}{6a}}$=$\frac{5}{6}$+2×$\frac{2}{6}$=$\frac{3}{2}$，当且仅当$\frac{4a}{6b}$=$\frac{b}{6a}$，即b=2a时取等号，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．