Question

叙述椭圆的定义，并推导椭圆的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先叙述椭圆的定义，再由已知条件恰当地建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式能推导出椭圆的标准方程．

解答： 解：椭圆的定义：平面内到两个定点F₁，F₂距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的集合（或轨迹）为椭圆．F₁，F₂称为椭圆的两个焦点．…（3分）
设|F₁F₂|=2c（c＞0），定值为2a，（a＞0），a＞c＞0，
取F₁F₂所在的直线为x轴，线段F₁F₂的中点为坐标原点O，
建立直角坐标系，设动点M（x，y），
则F₁（-c，0），F₂（c，0）…（5分）
由已知条件有|MF₁|+|MF₂|=2a，
将坐标代入有

(x+c)2+y2

+

(x-c)2+y2

=2a，…（7分）
化简整理得：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1，
∵a＞c＞0，∴令a²-c²=b²，（b＞0）
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），…10分
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如果取F₁F₂所在的直线为y轴，
则椭圆的标准方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．…（12分）

点评：本题考查椭圆定义的叙述，考查椭圆标准方程的推导，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．