Question

近年来，我国许多城市雾霾现象频发，PM2.5（即环境空气中空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物）是衡量空气质量的一项指标．据相关规定，PM2.5日均浓度值不超过35微克/立方米空气质量为优，在35微克/立方米至75微克/立方米之间的空气质量为良，某市环保局随机抽取了一居民区今年上半年中30天的PM2.5日均浓度监测数据，数据统计如下：

组别	PM2.5日均浓度（微克/立方米）	频数（天）
第一组	（15，35]	3
第二组	（35，55]	9
第三组	（55，75]	12
第四组	（75，95]	6

（1）估计该样本的中位数和平均数；
（2）将频率视为概率，用样本估计总体，对于今年上半年中的某3天，记这3天中该居民区空气质量为优或良的天数为X，求X的分布列及数学期望EX．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,众数、中位数、平均数,极差、方差与标准差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由数据统计表，利用中位数求法和平均数公式能求出中位数和平均数．
（2）由已知得X～N(3，

4

5

)，由此能求出X的分布列及数学期望EX．

解答： 解：（1）由已知得中位数为：55+20×

3

12

=60
平均数为：25×0.1+45×0.3+65×0.4+85×0.2=59
（2）∵上半年中某一天的空气质量为优或良的概率为

3+9+12

30

=

4

5

，
∴X～N(3，

4

5

)
∴P(X=0)=

C

0 3

(

1

5

)3=

1

125

，
P(X=1)=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

，
P(X=2)=

C

2 3

(

4

5

)2(

1

5

)1=

48

125

，
P(X=3)=

C

3 3

(

4

5

)3=

64

125

X	0	1	2	3
P	1 125	12 125	48 125	64 125

∴X的分布列为X的数学期望EX=3×

4

5

=2.8．

点评：本题考查中位数和平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．