Question

已知f（x）=|x²-2|+x²+ax．
（1）若a=3，求方程f（x）=0的解；
（2）若函数f（x）在（0，2）上有两个零点x₁，x₂．
①求实数a的取值范围；
②证明：

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2．

Answer 1

考点：带绝对值的函数

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）若a=3，f（x）=|x²-2|+x²+3x=

2x2+3x-2，x≤- 2 或x≥ 2 2+3x，- 2 ＜x＜ 2

，即可求方程f（x）=0的解；
（2）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x₁，x₂，-a=g（x）=

2x- 2 x ， 2 ≤x＜2 2 x ，0＜x＜ 2

在（0，2）上有两个零点x₁，x₂，作出函数g（x）的图象，由图求实数a的取值范围；
②由①得，

2

x1

=-k，2x2-

2

x2

=-k，可得

1

x1

+

1

x2

=x₂，利用

2

＜x₂＜2，即可证明：

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2．

解答： 解：（Ⅰ）a=3时，f（x）=|x²-2|+x²+3x=

2x2+3x-2，x≤- 2 或x≥ 2 2+3x，- 2 ＜x＜ 2

所以当x≤-

2

或x≥

2

时，得x=-2，或x=

1

2

（舍去）
当-

2

＜x＜

2

时，2+3x=0得x=-

2

3

所以a=3时，方程f（x）=0的解是x=-2或x=-

2

3

-----------（5分）
（Ⅱ）①函数f（x）在（0，2）上有两个零点x₁，x₂，
-a=g（x）=

2x- 2 x ， 2 ≤x＜2 2 x ，0＜x＜ 2

在（0，2）上有两个零点x₁，x₂，作出函数g（x）的图象，由图可知：
当且仅当

2

＜-a＜3，即-3＜a＜-

2

时，g（x）在（0，2）上有两个零点
所以，-3＜a＜-

2

时，函数（x）在（0，2）上有两个零点x₁，x₂．----------（11分）
（②由①得，

2

x1

=-k，2x2-

2

x2

=-k，
所以

1

x1

+

1

x2

=x₂，而

2

＜x₂＜2
所以

2

＜

1

x1

+

1

x2

＜2----------（15分）

点评：本题考查带绝对值的函数，考查函数的零点，考查函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．