Question

设f（x）是定义在实数R上的函数，任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），当x＜0时，f（x）＞1且f（-1）=

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．求：
（1）f（0）；
（2）证明：任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），说明f（0）≠0后得出f（0）=1；
（2）先用单调性的定义证明函数是减函数．

解答： 解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0），下面说明f（0）≠0：
若f（0）=0，f（-1）=f（0-1）=f（0）f（-1）=0，这与已知条件f（-1）＞1矛盾，故f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）又对于任意x＞0，1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，而f（-x）＞1，∴f（x）＞0，
∴任意实数x，f（x）＞0
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0
∴f（x₁-x₂）＞1
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对f（x₂）＞0
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是减函数，
故若x＞y，则f（x）＜f（y），∴x-y＞0时f（x）-f（y）＜0；
若x＜y，则f（x）＞f（y），∴x-y＜0时f（x）-f（y）＞0；
综上任意x，y∈R，x≠y，都有

f(x)-f(y)

x-y

＜0．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．