Question

已知向量

a

=（sin2x，

3

），b=（1，-cos2x），x∈R．
（1）若

a

⊥

b

，且0＜x＜

π

2

，求x的值；
（2）求函数f（x）=

a

•

b

的单调增区间（结果用开区间表示）．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由

a

⊥

b

，得

a

•

b

=0，结合三角函数的恒等变换，求出x的值；
（2）化简f（x），利用正弦函数y=sinx的单调性，求出函数f（x）的单调增区间．

解答： 解：（1）∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=0，
∴sin2x-

3

cos2x=0；
∴tan2x=

sin2x

cos2x

=

3

；
又∵0＜x＜

π

2

，
∴0＜2x＜π；
∵在（0，π）内只有

π

3

的正切值为

3

，
∴2x=

π

3

，∴x=

π

6

；
（2）∵f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
函数y=sinx的单调增区间为（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），k∈Z；
∴令-

π

2

+2kπ＜x＜

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

π

12

+kπ＜x＜

5π

12

+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调增区间为（-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ），k∈Z．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．