Question

【题目】函数

（1）讨论在其定义域上的单调性；

（2）设，m，n分别为的极大值和极小值，若S=m-n，求S的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出函数的定义域和导数，在其定义域内，解不等式和，即可求出函数的单调增区间和减区间，因为函数含参，注意分类讨论；

（2）由题可得在内有相异两根，

又，可得，由此解出．

因为，利用根与系数的关系，化简可得，构造函数，求出其在上的值域，即可得S的取值范围．

（1）函数定义域为 ，

，

当时，，所以在单调递减；

当时，，所以在单调递增；

当时，在内有相异两根，

设，，

令所以或；令，∴；

∴在上递增，在上递减，在上递增．

（2）依题意可知，在内有相异两根，

所以，又，可得

此时设的两根为，∴

∵， ∴，

由，且，得．

∴

由得 代入上式得

令，所以，，

则，

∴在上为减函数，

从而，即

∴．