Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是∠ADC=60°的菱形，M为PB的中点。

（1）求PA与底面ABCD所成角的大小；
（2）求证：PA⊥平面CDM；
（3）求二面角D-MC-B的余弦值。

Answer 1

解：（1）取DC的中点O， 由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC 又∵平面PDC⊥底面ABCD， ∴PO⊥平面ABCD于O 连结OA，则OA是PA在底面上的射影 ∴∠PAO就是PA与底面所成角 ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形， 从而求得OA=OP= ∴∠PAO=45° ∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°。 （2）由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°， DC=2，DO=1，有OA⊥DC 建立空间直角坐标系如图，则 ， 由M为PB中点 ∴ ∴ ∴ ∴PA⊥DM，PA⊥DC ∴PA⊥平面DMC；
（3） 令平面BMC的法向量， 则 从而x+z=0； ……① 从而  ② 由①、②，取x=-1，则 ∴可取 由（2）知平面CDM的法向量可取， ∴ ∴所求二面角的余弦值为-。