Question

20．已知函数f（x）=-x²+ax-$\frac{a}{4}$+$\frac{1}{2}$，在区间[0，1]上的最大值是2，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 根据二次函数，对称轴为x=$\frac{a}{2}$，讨论对称轴和区间[0，1]的关系，根据二次函数的单调性求出每种情况下的f（x）的最大值2时，解出a，然后求最小值．

解答 解：（1）当$\frac{a}{2}$＜0时，即a＜0时，由f（0）=2得到a=-6，此时f（x）的最小值为f（1）=-5；
（2）当0≤$\frac{a}{2}$≤1时，即0≤a≤2时，f（$\frac{a}{2}$）=2，得到a=-2或者a=3（舍去）；此时f（x）无最小值；
（2）当$\frac{a}{2}$＞1时即a＞2时，f（1）=2得到a=$\frac{10}{3}$，此时f（x）的最小值为f（0）=$-\frac{1}{3}$；
综上所述：当a＜0时，f（x）的最大值为-5；
当a＞2时最大值为$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二次函数的单调性以及讨论的数学思想；正确讨论对称轴与端点关系是解答的关键．