Question

已知椭圆的中心在原点，焦点为F₁（0，-_），F₂（0，），且离心率．
（I） 求椭圆的方程；
（II）直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l倾斜角的取值范围．

Answer 1

解：（I）设椭圆方程为，
由题意得c=2，e=，所以a=3，
b²=a²-c²=1，
所以椭圆的方程为；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），
由得（k²+9）x²+2kmx+m²-9=0，
则△=4k²m²-4（k²+9）（m²-9）＞0，即k²-m²+9＞0①，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
因为线段AB中点的横坐标为，所以2×（-）=-，
化简得k²+9=2km，所以m=②，
把②代入①整理得k⁴+6k²-27＞0，解得k＜-或k＞，
所以直线l倾斜角的取值范围为k＜-或k＞．
分析：（I）设椭圆方程为，由焦点可得c，由离心率可得a，再由b²=a²-c²可得b；
（II）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，则△＞0①，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式可得2×=x₁+x₂，代入韦达定理可得m，k的方程②，代入①消掉m即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，考查学生分析解决问题的能力，（Ⅱ）中由直线交椭圆于不同两点得不等式△＞0，由中点横坐标得一方程，两者联立即可求得范围，称为“方程不等式法”，解题中注意应用．