Question

（2010•宝山区模拟）设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，设椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点距离之和等于4．
（1）写出椭圆C的方程；
（2）设点K是椭圆上的动点，求 线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）求定点P（m，0）（m＞0）到椭圆C上点的距离的最小值d（m），并求当最小值为1时m值．

Answer 1

分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程．
（2）设F₁K的中点Q（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点Q的轨迹方程．
（3）利用参数表示出距离，再利用配方法求最小值．

解答：解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，又点A（1，

3

2

）在椭圆上，因此

1

22

+

( 3 2 )2

b2

=1 得b²=3，于是c²=1，所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

= 1，
（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：x=

-1+x1

2

，y=

y1

2

，即x₁=2x+1，y₁=2y．因此

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1．即 (x+

1

2

)2+

4y2

3

=1为所求的轨迹方程
（3）设P（2cosθ，

3

sinθ），则|AP|²=（2cosθ-m）²+（

3

sinθ）²=（cosθ-2m）²-3m²+3
∵cosθ∈[-1，1]，∴①若0＜m＜

1

2

时，d(m)=

-3m2+3

；②m≥

1

2

时，d(m)=

(2-m)2

当d（m）=1时，m=1，3．

点评：本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程．