Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PA=AB，E，F，G分别是PO，AD，AB的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面PBD；
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求证：PC⊥平面EFG．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）易知FG∥BD，由BD?平面PBD．GF?平面PBD，即可证明FG∥平面PBD；
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，可证PO⊥BD，又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，AC∩PO=O，可证BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，从而证明BD⊥PC．
（Ⅲ）设FG∩AC=H，连结EH，由已知条件推导出AP⊥PC，EH⊥PC，FG⊥PC，由此能证明PC⊥平面EFG．

解答： 证明：（Ⅰ）∵F，G分别是AD，AB的中点．底面ABCD是正方形，
∴FG∥BD，
∵BD?平面PBD．GF?平面PBD；
∴FG∥平面PBD；
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，AC⊥BD，AC∩PO=O，
∴BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴BD⊥PC．
（Ⅲ）证明：设FG∩AC=H，连结EH，
在Rt△ABC中，AB=BC，且AB²+BC²=AC²，
在△PAC中，PA=PC=AB，
PA²+PC²=AC²，∴AP⊥PC，
E、F、G分别是PO、AD、AB的中点，
FG∥BD，
∴H为AO中点，
∴EH∥PA，故EH⊥PC，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∴FG⊥AC，
∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥FG
∵PO∩AC=O，∴FG⊥平面PAC，
∴FG⊥PC，
∵FG∩EH=H，
∴PC⊥平面EFG．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．