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    （2013•虹口区一模）如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．
    （1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”求出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由．
    （2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，且当x≤0时f（x）=（x+m）2，求y=f（x）在[0，1]上的最大值．
    （3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-
    1
    2
    ≤x≤
    1
    2
    时，g（x）=|x|．若y=g（x）与y=mx交点个数为2013个，求m的值．
    分析：（1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”
    （2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（-x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合m的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值
    （3）由题意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m
    解答：解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
    根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
    ∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．…（4分）
    （2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
    ∴f（x）=f（-x）．
    设x≥0，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+m）2=（x-m）2
    ∴f(x)=
    (x+m)2&x≤0
    (x-m)2&x≥0
    …（6分）
    当m≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，
    ∴x=1时ymax=(1-m)2
    当0＜m＜
    1
    2
    时，y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2＜f（1）=（1-m）2，
    ∴x=1时ymax=(1-m)2
    当m≥
    1
    2
    时，
    ∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m2≥f（1）=（1-m）2，
    ∴x=0时ymax=m2
    综上所述：当m＜
    1
    2
    时，ymax=f(1)=(1-m)2；
    当m≥
    1
    2
    时，ymax=f(0)=m2…（11分）
    （3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
    ∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
    ∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
    又设
    1
    2
    ≤x≤
    3
    2
    ，则-
    1
    2
    ≤1-x≤
    1
    2
    ，
    g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
    再设n-
    1
    2
    ≤x≤n+
    1
    2
    （n∈z），
    当n=2k（k∈z），2k-
    1
    2
    ≤x≤2k+
    1
    2
    则-
    1
    2
    ≤x-2k≤
    1
    2
    ，
    g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
    当n=2k+1（k∈z），2k+1-
    1
    2
    ≤x≤2k+1+
    1
    2
    则
    1
    2
    ≤x-2k≤
    3
    2
    ，
    g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
    ∴对于，n-
    1
    2
    ≤x≤n+
    1
    2
    （n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-
    1
    2
    ≤x+1≤n+1+
    1
    2
    ，
    ∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
    ∴y=g（x）是周期为1的函数．
    ①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有2013个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，1006）有2012个交点，而在[1006，1007]有一个交点．
    ∴y=mx过（
    2013
    2
    ，
    1
    2
    ），从而得m=
    1
    2013

    ②当m＜0时，同理可得m=-
    1
    2013

    ③当m=0时，不合题意．
    综上所述m=±
    1
    2013
    …（18分）
    点评：本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题
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    .
    1+i0z
    -i
    1
    2
    		i
    1-i0z
    .
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    1-2i
    1-2i
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    12
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    -1
    -1
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    		3
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    π
    6
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    		3
    或2
    		3
    		3
    或2
    		3
    ．

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