Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c；若cosA=

10

10

，cosC=

5

5

；
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由cosA与cosC的值，以及A与C为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA与sinC的值，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A+C），将各自的值代入并利用诱导公式化简求出cosB的值，即可确定出角B的大小；
（Ⅱ）由sinA，sinC以及c的值，利用正弦定理求出a的值，再利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cosA=

10

10

，A∈（0，π），
∴sinA=

1-cos2A

=

3 10

10

，
∵cosC=

5

5

，C∈（0，π），
∴sinC=

1-cos2C

=

2 5

5

，
又A+B+C=π，∴B=π-（A+C），即cosB=-cos（A+C），
∵cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=

10

10

×

5

5

-

3 10

10

×

2 5

5

=-

2

2

，
∴cosB=

2

2

，
又B∈（0，π），
∴B=

π

4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sinA=

3 10

10

，sinC=

2 5

5

，
又c=4，
∴由正弦定理有

a

sinA

=

c

sinC

得：a=

csinA

sinC

=

4× 3 10 10

2 5 5

=3

2

，
则△ABC的面积为S=

1

2

acsinB=

1

2

×3

2

×4×

2

2

=6．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，正弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．