Question

函数f（x）=

ax+1

x+2

在区间（-2，+∞）上是递增的，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先将函数解析式进行常数分离，然后利用增函数的定义建立关系，进行通分化简，判定每一个因子的符号，从而求出a的范围．

解答：解：f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)+1-2a

x+2

=

1-2a

x+2

+a、
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

( x1+2)(x2+2)

．
∵函数f（x）=

ax+1

x+2

在区间（-2，+∞）上为增函数，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∵x₂-x₁＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴1-2a＜0，a＞

1

2

，
即实数a的取值范围是（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查了函数单调性的应用，以及利用单调性的定义进行求解参数问题，属于基础题．