Question

14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，直线?的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$．
（Ⅰ）写出曲线C₁与直线?的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q为曲线C₁上一动点，求Q点到直线?距离的取值范围．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=2，利用互化公式可得直角坐标方程．直线?的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$，即ρ$（\sqrt{2}sinθ+cosθ）$=4，利用互化公式可得直角坐标方程．
（II）设Q$（\sqrt{2}cosθ，sinθ）$，点Q到直线?的距离d=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{3}}$，利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）曲线C₁的极坐标方程为ρ²=$\frac{2}{1+si{n}^{2}θ}$，即ρ²+ρ²sin²θ=2，化为直角坐标方程：x²+2y²=2，即$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
直线?的极坐标方程为ρ=$\frac{4}{\sqrt{2}sinθ+cosθ}$，即ρ$（\sqrt{2}sinθ+cosθ）$=4，可得直角坐标方程：$\sqrt{2}$y+x-4=0．
（II）设Q$（\sqrt{2}cosθ，sinθ）$，点Q到直线?的距离d=$\frac{|\sqrt{2}cosθ+\sqrt{2}sinθ-4|}{\sqrt{3}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{3}}$∈$[\frac{2\sqrt{3}}{3}，2\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、椭圆的参数方程及其应用、点的直线的距离公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．