Question

【题目】设有限数列，定义集合为数列的伴随集合．

（Ⅰ）已知有限数列和数列．分别写出和的伴随集合；

（Ⅱ）已知有限等比数列，求的伴随集合中各元素之和；

（Ⅲ）已知有限等差数列，判断是否能同时属于的伴随集合，并说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为；（Ⅱ）（Ⅲ）不能

【解析】

（Ⅰ）由数列A的伴随集合定义可得P，Q的伴随集合；

（Ⅱ）先证明对任意i≠k或j≠l，则ai+aj≠ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），可得求集合M中各元素之和时，每个ai（1≤i≤n）均出现n﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和；

（Ⅲ）假设同时属于数列A的伴随集合M．设数列A的公差为d（d≠0），运用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．

解：（Ⅰ）数列的伴随集合为，数列的伴随集合为．

（Ⅱ）先证明对任意或，则．

假设．

当且，因为，则，即，

所以，与矛盾．

同理，当且时，也不成立．

当且时，不妨设，因为，则，

所以，

左边为奇数，右边为偶数，所以，

综上，对任意或，则

所以求集合中各元素之和时，每个均出现次，

所以

（Ⅲ）假设同时属于数列的伴随集合．

设数列的公差为，则

即

②-①得，，

③-①得，，

两式相除得，，

因为，

所以，

，

所以．

又因为，

所以，

，

所以，与矛盾，

所以不能同时属于数列的伴随集合．