【题目】若四面体的六条棱长分别为2,3,4,5, 6,7,则不同的形状有______种(若两个四面体经适当放置后可完全重合,则认为是相同的形状).
【答案】10.
【解析】
将长为k的棱记为.考虑
.
(1) 共面,则该面的另一边必为
.
(i)若按顺时针方向组成三角形(均指从形内向该面看三边的绕向,下同),则边
不能取
(否则,将使
的三边为2,5,7,矛盾)
若取,
,有2种情况;
若取,
,也有2种情况. 共得4种情况.
(ii)若按逆时针方向组成三角形,类似也得4种情况.
(2)异面,设
,
.则其余四条边,每一条皆与
相邻,于是
所在面的另一条边必为
.
(i)若按顺时 针方向组成三角形,不妨设
,
,剩 下两条边,
不能取
,故只有
,
,得1 种情况.
故答案为:10
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【题目】设有限数列,定义集合
为数列
的伴随集合.
(Ⅰ)已知有限数列和数列
.分别写出
和
的伴随集合;
(Ⅱ)已知有限等比数列,求
的伴随集合
中各元素之和
;
(Ⅲ)已知有限等差数列,判断
是否能同时属于
的伴随集合
,并说明理由.
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【题目】根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量
(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与
的关系,请计算相关系数
并加以说明(若
,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求关于
的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为
千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?
附:相关系数公式,回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,矩形为一张台球桌面,
,
.从点
击出一个球,其可无限次经台球桌四边反弹运行.已知该球经过矩形
的中心
.
(1)试求所有整点
的个数,使得该球可以经过点
;
(2)若该球在上述、
两点间的最短路径长为
,求
的最大值.
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【题目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作,某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位:小时),并绘制出如右的频率分布直方图:
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替,结果精确到个位);
(Ⅱ)由直方图可以认为,人的睡眠时间近似服从正态分布
,其中
近似地等于样本平均数
,
近似地等于样本方差
,
.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人,试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2,50.8)的人数.
附:.若随机变量
服从正态分布
,则
,
.
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【题目】设椭圆
(
)的左、右焦点分别为
,过
的直线交椭圆于
,
两点,若椭圆
的离心率为
,
的周长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦的直线交椭圆
于点
,
,设弦
,
的中点分别为
,证明:
三点共线.
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【题目】
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
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