Question

8．设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$≥9．

Answer 1

分析 由a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，运用乘1法和三元均值不等式，以及不等式的性质，即可得证．

解答 证明：因为a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}$=$（{a_1}+{a_2}+{a_3}）（{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}}）$
$≥3{（{{a_1}{a_2}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}•3{（{\frac{1}{a_1}\frac{1}{a_2}\frac{1}{a_3}}）^{\frac{1}{3}}}=9$，
（当且仅当${a_1}={a_2}={a_3}=\frac{1}{3}$时等号成立）
所以$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}≥9$．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式和不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．