Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求当x＜0时f（x）的解析式；
（2）试确定函数f（x）（x≥0）的单调区间，并证明你的结论；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，证明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）直接设x＜0，则-x＞0，再利用f（x）=f（-x）即可得x＜0时f（x）的解析式；
（2）先求出其导函数，再利用导函数值的正负和原函数单调性之间的关系即可求出函数f（x）（x≥0）的单调区间；
（3）利用（2）的结论得当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2；所以有当x₁，x₂≥2时，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2，整理后即可得出结论．

解答：解：（1）若x＜0，则-x＞0，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x）=

7x

x2-x+1

（x＜0）（3分）
（2）当x≥0时，f'（x）=

7(x+1)(x-1)

(x2+x+1)2

．（6分）
显然当0＜x＜1时，f'（x）＜0；
当x＞1时，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1处连续，
∴函数f（x）在[0，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数．（8分）
（3）证明：∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，且f（x）＜0，
∴当x≥2时，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又当x₁，x₂≥2时，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2
∴-2＜f（x₁）-f（x₂）＜2即得：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）

点评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合以及利用导函数研究函数的单调性，是对函数性质的综合考查，属于中档题．