Question

如图,F₁、F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右

焦点,直线：x＝－1将线段F₁F₂分成两段,其长度之比为1 ^: 3.设A、B是椭圆C上的两个动点,线段AB的中垂线与椭圆C交于P、Q两点,线段AB的中点M在直线l上．

（I）求椭圆C的方程；

（II）求的取值范围．

 

Answer 1

(Ⅰ) 设F₂(c，0)，则

＝，

所以

c＝2．

因为离心率e＝，   所以a＝．

所以椭圆C的方程为

．                  ………… 6分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－1，此时P(，0)、Q(,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－1，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由  得      (x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

则     －1＋2mk＝0，       故k＝．             ………… 8分

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为

． 即          ．

联立 消去y，整理得

                ．

所以                  ，．………… 10分