Question

19．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）当a=-3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）设集合A={x|f（x）≤|x-4|}，集合B={x|1≤x≤2}，且B⊆A，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=-3代入f（x），通过讨论x的范围，得到各个区间上不等式的解集，取并集即可；
（2）根据绝对值的几何意义求出集合A，结合B={x|1≤x≤2}，且B⊆A，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a=-3时，f（x）=|x-3|+|x-2|≥3，
x≥3时，x-3+x-2≥3，解得：x≥4，
2＜x＜3时，3-x+x-2=1＜3，不成立，
x≤2时，3-x+2-x≥3，解得：x≤1，
故不等式的解集是{x|x≥4或x≤1}；
（2）由f（x）≤|x-4|，
得：|x+a|≤|x-4|-|x-2|≤|x-4-x+2|=2，
解得：-2-a≤x≤2-a，
∴A=[-2-a，2-a]，而B={x|1≤x≤2}，且B⊆A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2-a≤1}\\{2-a≥2}\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤0．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题考查分类讨论思想，是一道中档题．