Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，其前n项的和为S_n，且满足a_n=$\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}$（n≥2）
（Ⅰ）证明：数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$是等差数列；
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{3}{S_1}+\frac{1}{5}{S_2}+\frac{1}{7}{S_3}+…+\frac{1}{2n+1}{S_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过作差可知当n≥2时S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1，进而变形可知$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，整理即得结论；
（Ⅱ）通过（I）计算可知${S_n}=\frac{1}{2n-1}$，进而裂项、并项相加放缩即得结论．

解答 证明：（Ⅰ）依题意，当n≥2时，${S_n}-{S_{n-1}}=\frac{2S_n^2}{{2{S_n}-1}}$，
∴S_n-1-S_n=2S_n•S_n-1，
∴$\frac{1}{S_n}-\frac{1}{{{S_{n-1}}}}=2$，
又∵a₁=1，
∴数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$构成以1为首项、2为公差的等差数列；
（Ⅱ）由（I）可知，$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{S_1}+（n-1）•2=2n-1$，即${S_n}=\frac{1}{2n-1}$，
所以$\frac{1}{3}{S_1}+\frac{1}{5}{S_2}+\frac{1}{7}{S_3}+…+\frac{1}{2n+1}{S_n}=\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．