Question

5．已知曲线C：mx²+ny²=1经过点A（5，0），B（4，$\frac{12}{5}$）．
（1）求曲线C的方程．
（2）若曲线C上一点P到点M（-3，0）的距离等于6，求点P到点N（3，0）的距离|PN|．

Answer 1

分析 （1）将A，B的坐标代入椭圆方程，解得m，n，即可得到所求椭圆方程；
（2）求得椭圆的a，b，c，可得M，N为椭圆的焦点，运用椭圆的定义，即可得到所求距离．

解答 解：（1）将A（5，0），B（4，$\frac{12}{5}$）代入椭圆方程，
可得$\left\{\begin{array}{l}25m=1\\ 16m+\frac{144}{25}n=1\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{1}{25}\\ n=\frac{1}{16}\end{array}\right.$，
即有曲线C的方程为：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$；
（2）由（1）知，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
且a=5，b=4，∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=3$，
∴M（-3，0），N（3，0）分别是椭圆的左右焦点，
由椭圆定义得：|PM|+|PN|=2a=10，
∴|PN|=10-|PM|=10-6=4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆上的点到焦点的距离，注意运用椭圆的定义，考查运算能力，属于基础题．