Question

17．已知某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则此几何体的体积为$\frac{8}{3}$，表面积为$6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．

解答 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，
底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，
其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，
∴几何体的体积V=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$，
在△PEB中，PB=$\sqrt{P{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，同理可得PC=$\sqrt{5}$，
∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，
∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，
在△PCD中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{5+4}$=3，
同理可得PA=3，则PF⊥AD，
在△PDF中，PF=$\sqrt{P{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\sqrt{9-1}$=$2\sqrt{2}$，
∴此几何体的表面积S=2×2+$\frac{1}{2}×2×2$+$2×\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}$+$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$
=$6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$
故答案为：$\frac{8}{3}$；$6+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力．