Question

6．已知圆C₁：x²+y²=r²和椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
（1）若过圆C₁上一点（x₀，y₀）作圆C₁的切线，则切线方程为x₀x+y₀y=r²，类比圆的这一性质，若过椭圆C₂上一点（x₀，y₀）作椭圆C₂的切线，请写出切线的方程，并证明你的结论；
（2）如图1，设A，B，C，D分别是圆C₁与坐标轴的四个交点，过圆C₁上任意一点P（x₀，y₀）（不与A，B，C，D重合）的切线交x轴于点Q，连接PA交x轴于点H，则QD，QH，QC成等比数列，类比圆的这一性质，叙述在椭圆C₂（如图2）中类似的性质，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）一点P（x₀，y₀）作椭圆的切线为：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，下面给出证明：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得${b}^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}$=0．
y₀≠0时，y=$\frac{{b}^{2}}{{y}_{0}}（1-\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}）$代入椭圆方程，只要证明△=0即可．y₀=0时，直径验证即可得出结论．
（2）设A，B，C，D分别是椭圆C₂与坐标轴的四个交点，过椭圆C₂上任意一点P（x₀，y₀）（不与A，B，C，D重合）的切线交x轴于点Q，连接PA交x轴于点H，则QD，QH，QC成等比数列．下面给出证明分析：由（1）可知：过椭圆C₂上任意一点P（x₀，y₀）（不与A，B，C，D重合）的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．（x₀，y₀）≠（0，0），不妨设x₀＞0，y₀＞0．令y=0，可得Q$（\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}，0）$，可得QD，QC．由点斜式可得直线AP的方程为：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x-b，令y=0，可得x_H，QH²．只要证明QD•QC=QH²即可得出结论．

解答 解：（1）过椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）一点P（x₀，y₀）作椭圆的切线为：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，
下面给出证明：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得${b}^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}$=0．
y₀≠0时，y=$\frac{{b}^{2}}{{y}_{0}}（1-\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}）$代入椭圆方程可得：$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+{b}^{2}{x}_{0}^{2}）$x²-2a²b²x₀x+${a}^{4}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）$=0，
△=$4{a}^{4}{b}^{4}{x}_{0}^{2}$-4${a}^{4}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）$$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+{b}^{2}{x}_{0}^{2}）$=4a⁴${y}_{0}^{2}$$（{a}^{2}{y}_{0}^{2}+{b}^{2}{x}_{0}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}）$=0．
∴$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1为椭圆的切线．
y₀=0时，x₀=±a，椭圆的切线为x=±a，也满足上式．
综上可得：过椭圆C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）一点P（x₀，y₀）作椭圆的切线为：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．
（2）设A，B，C，D分别是椭圆C₂与坐标轴的四个交点，过椭圆C₂上任意一点P（x₀，y₀）（不与A，B，C，D重合）的切线交x轴于点Q，连接PA交x轴于点H，则QD，QH，QC成等比数列．
下面给出证明：由（1）可知：
过椭圆C₂上任意一点P（x₀，y₀）（不与A，B，C，D重合）的切线方程为：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1．（x₀，y₀）≠（0，0），不妨设x₀＞0，y₀＞0．

令y=0，可得Q$（\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}，0）$，∴QD=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-a，QC=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$+a，∴QD•QC=（$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-a）（=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$+a）=$\frac{{a}^{4}}{{x}_{0}^{2}}$-a²．
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得${x}_{0}^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）$．
∴QD•QC=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}-{y}_{0}^{2}}$．
直线AP的方程为：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}$x-b，令y=0，可得x_H=$\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，
∴QH=$\frac{{a}^{2}}{{x}_{0}}$-$\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$，∴QH²=$\frac{{a}^{4}}{{x}_{0}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}{x}_{0}^{2}}{（{y}_{0}+b）^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}b}{{y}_{0}+b}$=$\frac{{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}-{y}_{0}^{2}}$．
∴QD•QC=QH²．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、线段的垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．