Question

1．将圆C：x²+y²=4上点的横坐标的单位长度保持不变，纵坐标的单位长度缩短为原来的$\frac{1}{2}$．
（1）求压缩后的曲线方程；
（2）圆C上点P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的切线，经过压缩后与压缩后曲线有何关系？

Answer 1

分析 （1）设圆上的点M（x₀，y₀），N（x，y）为曲线C'上的点，即有x₀=x，y₀=2y，运用代入法，即可得到所求曲线的方程；
（2）求得圆上P处的切线方程，由x₀=x，y₀=2y，可得直线x+2y=2$\sqrt{2}$，代入椭圆方程，运用判别式即可判断位置关系：相切．

解答 解：（1）设圆上的点M（x₀，y₀），N（x，y）为曲线C'上的点，
即有x₀=x，y₀=2y，
由x₀²+y₀²=4，即为x²+4y²=4，
则压缩后的曲线方程为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）圆C上点P（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）的切线的斜率为-1，
可得方程为y-$\sqrt{2}$=-（x-$\sqrt{2}$），
化为x+y=2$\sqrt{2}$，
由x₀=x，y₀=2y，可得直线x+2y=2$\sqrt{2}$，
联立椭圆方程x²+4y²=4，
可得x²+（2$\sqrt{2}$-x）²=4，
即为x²-2$\sqrt{2}$x+2=0，可得△=8-4×2=0，
即有经过压缩后的直线与压缩后曲线相切．

点评 本题考查椭圆与圆的关系，注意运用坐标关系，考查直线和圆相切的条件，以及直线与椭圆的位置关系，注意运用判别式法，考查运算能力，属于中档题．