Question

11．已知{a_n}为首项a₁=2的等差数列，{b_n}为首项b₁=1的等比数列，且a₂+b₂=6，a₃+b₃=10．
（1）分别求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q，由题意列方程组求得公差和公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；
（2）把数列{a_n}和{b_n}的通项公式代入c_n=a_nb_n，然后直接利用错位相减法求数列{c_n}前n项和S_n．

解答 解：（1）设公差为d，公比为q，
由a₂+b₂=6，a₃+b₃=10，a₁=2，b₁=1，
得$\left\{\begin{array}{l}{2+d+q=6}\\{2+2d+{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，
解得d=2，q=2，
∴a_n=2n，b_n=2^n-1，
（2）∵c_n=a_n•b_n=2n•2^n-1=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=1•2²+3•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ，
∴-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．